Question

已知椭圆的中心在原点，焦点在轴，离心率为，短轴长为2.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设，过椭圆左焦点的直线交于，两点，若对满足条件的任意直线，不等式恒成立，求的最小值.

Answer

（1）；（2）

【解析】

（1）根据条件列方程组，解得，，即得结果；

（2）先讨论直线斜率不存在情况，得，再研究直线斜率存在情况，设直线方程与椭圆方程联立，利用向量数量积以及韦达定理化简得关于直线斜率的函数关系式，根据分式函数单调性确定函数值域，最后比较两种情况得结果.

（1）依题意，，解得，，∴椭圆的标准方程为.

（2）设，，

当直线垂直于轴时，，且，

此时，，∴.

当直线不垂直于轴时，设直线：，

由，得，

∴，，

∴，

∴

.

要使不等式恒成立，

只需，即的最小值为.