Question

在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：，直线l：．

当时，若圆C与直线l交于A，B两点，过点A，B分别作l的垂线与y轴交于D，E两点，求的值；

过直线l上的任意一点P作圆的切线为切点，若平面上总存在定点N，使得，求圆心C的横坐标的取值范围．

Answer

（1）4（2）．

【解析】

（1）当a=﹣1时，联立直线与圆的方程求出A，B的坐标，再求出D，E的坐标，就可以算出|DE|；

（2）设出P（m，m+3），N（x0，y0），由PQ=PN得|PQ|2=|PN|2，得|PC|2﹣4=|PN|2，再将此式坐标化，然后先对m恒成立，再对y0有解，可求出a的取值范围．

时，圆C：，

与直线l：的交点，，

直线AD：，直线BE：，

令，分别得，，

，．

；

设，定点，

由题意可得，，

，

，

依题意对任意的m，

都有

成立，

，消去并整理得：对有解，

所以，解得：或

故圆心C的横坐标a的取值范围是：．