Question

如图，三棱柱的侧面是平行四边形，，平面平面，且分别是的中点.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求证：平面；

（Ⅲ）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

Answer

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）当点是线段的中点时，平面.此时，

【解析】

（Ⅰ）由，利用面面垂直的性质，证得平面，在线面垂直的性质，即可得到.

（Ⅱ）取中点，连连，得到四边形为平行四边形，又由是的中点，证得，且，进而得到，利用线面平行的判定定理，即可证得平面.

（Ⅲ）取的中点，连，连，由线面垂直的性质，得到,，又在在△中，利用中位线得，再由（Ⅱ）知，进而得到平面，得出结论.

（Ⅰ）因为，又平面平面，

且平面平面，

所以平面.

又因为平面，

所以.

（Ⅱ）取中点，连连.

在△中，因为分别是中点，

所以，且.

在平行四边形中，因为是的中点，

所以，且.

所以，且.

所以四边形是平行四边形.

所以.

又因为平面，平面，所以平面.

（Ⅲ）在线段上存在点，使得平面.

取的中点，连，连.

因为平面， 平面, 平面,

所以 , .

在△中，因为分别是中点，所以.

又由（Ⅱ）知，

所以 ，.

由 得平面.

故当点是线段的中点时，平面.此时，.