Question

已知抛物线（）经过点，直线与抛物线有两个不同的交点、，直线交轴于，直线交轴于.

(1)若直线过点，求直线的斜率的取值范围；

(2)若直线过点，设，，，求的值；

(3)若直线过抛物线的焦点，交轴于点，，，求的值.

Answer

(1)且且；(2)；(3).

【解析】

(1)由题意易得直线斜率存在且不为，且直线、斜率存在，设出直线方程，并联立抛物线方程，根据交点有两个，得出，解不等式即可得直线斜率的范围.

(2)根据，，得出、与点坐标之间的关系，再根据在同一直线上，在同一直线上，得出,与点坐标之间的关系，根据（1）中联立所得的方程得出点横坐标之间的关系，对原式进行化简，即可得的值.

(3) 设直线的方程为：联立直线与抛物线的方程得出点纵坐标之间的关系，再由，，得出、与点坐标之间的关系，对化简可求得的值.

（1）因为抛物线经过点，所以，所以，所以抛物线的解析式为。

又因为直线过点，且直线与抛物线有两个不同的交点，易知直线斜率存在且不为，故可设直线的方程式为.

根据题意可知直线不能过点，所以直线的斜率.

若直线与抛物线的一个交点为，此时该点与点所在的直线斜率不存在，则该直线与轴无交点，与题目条件矛盾，

此时，所以直线斜率.

联立方程,得，

因为直线与抛物线有两个不同的交点，所以，所以。

故直线的斜率的取值范围是且且.

（2）设点，，则，，

因为，所以，故，由得，

设，，直线的方程为，

令，得①，由直线可得②，

因为③，将①②代入③可得，

，

又由根与系数的关系：，，

所以，

所以.

（3）设直线的方程为：由，得，设，，

则，∵，，，，

∴，，∴，

.