Question

设为实数，函数.

（1）求证：不是上的奇函数；

（2）若是上的单调函数，求实数的值；

（3）若函数在区间上恰有3个不同的零点，求实数的取值范围.

Answer

（1）证明见解析；（2）；（3）.

【解析】

试题（1）由无解，即可得结论；（2）分三种情况讨论，结合二次函数的图像及单调性，排除不合题意的值即可.（3）三种情况分别结合函数单调性判断出函数零点个数，即可得出结果.

试题解析：（1）假设是上的奇函数，

则对任意的，都有 （*）

取，得，即，解得，

此时，所以，从而，

这与（*）矛盾，所以假设不成立，所以不是上的奇函数；

（2），

①当时，对称轴，所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，不符；

②当时，对称轴，所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，不符；

③当时，对称轴，所以在上单调递减，在上单调递减，所以是上的单调减函数．

综上，．

（3）①当时，由（2）知，是上的单调减函数，至多1个零点，不符；

②当时，由（2）知，，所以在上单调递减，

所以在上至多1个零点，不符；

③当时，由（2）知，，所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．

因为在区间上恰有3个零点，

所以，

，解得或，又，故，综上，实数的取值范围是．