Question

如图，正方体的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段上的动点，过点A,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是_________（写出所有正确命题的编号）. ①当时，S为四边形；②当时，S为等腰梯形；③当时，S与的交点R满足；④当时，S为六边形；⑤当时，S的面积为.

Answer

①②③⑤

【解析】

②当CQ=时，即Q为CC 中点，此时可得PQ∥AD，AP=QD= = ，故可得截面APQD为等腰梯形，等腰梯形，故②正确；

①由如图当点Q向C移动时，满足，只需在DD上取点M满足AM∥PQ，即可得截面为四边形APQM， 如图所示，是四边形，故①正确；

③当CQ=时，如图，延长DD至N，使DN=，连接AN交AD于S，连接NQ交CD于R，连接SR，可证AN∥PQ，由△NRD∽△QRC，可得CR：DR=CQ：DN=1：2，故可得CR=，故③正确；

④由③可知当＜CQ＜1时，只需点Q上移即可，此时的截面形状仍然如图所示的APQRS，如图是五边形，故④不正确；

⑤当CQ=1时，Q与C重合，取AD的中点F，连接AF，可证PC∥AF，且PC=AF，可知截面为APCF为菱形，故其面积为AC•PF= ，如图是菱形，面积为，故⑤正确，

故答案为①②③⑤．