Question

如图所示，四棱锥的底面是边长为1的菱形，，

E是CD的中点，PA底面ABCD，．

（I）证明：平面PBE平面PAB；

（II）求二面角A—BE—P和的大小．

Answer

（I）同解析（II）二面角的大小为

【解析】

【解析】
解法一（I）如图所示, 连结由是菱形且知，

是等边三角形. 因为E是CD的中点，所以

又所以

又因为PA平面ABCD，平面ABCD，

所以而因此平面PAB.

又平面PBE，所以平面PBE平面PAB.

（II）由（I）知，平面PAB,平面PAB, 所以

又所以是二面角的平面角．

在中,．

故二面角的大小为

解法二：如图所示,以A为原点，建立空间直角坐标系．则相关各点的坐标分别是

（I）因为平面PAB的一个法向量是所以和共线.

从而平面PAB. 又因为平面PBE，所以平面PBE平面PAB.

（II）易知设是平面PBE的一个法向量,

则由得所以

故可取而平面ABE的一个法向量是

于是,．

故二面角的大小为