Question

如图，在长方体中，底面是边长为2的正方形，为底面的对角线，为的中点．

（1）求证：．

（2）二面角的大小为，求的长．

Answer

（1）见解析； （2）.

【解析】

（1）连接交于,由平面，知．由．

可知平面．进而证得．

（2）连接，由四边形是正方形，可得，进而可知，则即为二面角的平面角,从而在三角形中即可解得.

（1）证明：连接交于,

∵在四棱柱中，

平面，平面，∴．

∵四边形是正方形，∴．

又∵，∴平面．

∵平面，∴．

（2）连接，∵四边形是正方形，

∴，且是的中点，

∴，

即为二面角的平面角，，

则，即.