Question

已知函数对任意实数x，，满足条件，且当时，.

（1）求证：是R上的递增函数；

（2）解不等式；

Answer

（1）见解析；（2）见解析.

【解析】

（1）直接设，根据时，，得到，即可得到结论；

（2）根据已知条件，将不等式转化为，根据条件求得，利用函数的单调性列出不等式，对的范围进行讨论求得不等式的解.

（1）证明：任取，且，则，

因为时，，所以，

所以，

即，

所以，函数为R上的单调增函数.

（2）由可得，

即，

因为，

所以，所以，

因为，所以，所以，

所以即为，

因为函数为单调增函数，

所以不等式可以转化为，

即，

解得或，

所以当时，解得或，

当时，解得或，

所以当时，不等式的解集为，

当时，不等式的解集为.