Question

已知奇函数.

（1）求函数的值域；

（2）判断函数的单调性，并给出证明；

（3）若函数在区间上有两个不同的零点，求m的取值范围.

Answer

（1）；（2）见解析；（3）.

【解析】

（1）根据当有意义的奇函数图象过坐标原点，，求得参数的值，利用不等式的性质求函数的值域，得到结果；

（2）应用定义判断并证明函数的单调性；

（3）利用函数零点的个数，对式子进行化简，转化为对应方程有两个不等实根，考虑函数图象的走向，求得结果.

（1）因为函数为奇函数，且定义域为R，

所以有，即，解得，

所以，

因为，所以，，

所以，，

所以函数的值域为；

（2）为上的增函数，证明如下：

任取，且，则

，

因为，所以，所以，

所以，

所以函数为上的增函数；

（3）函数在区间上有两个不同的零点，

即在上有两个不同的实数根，

整理得，

设，所以，

则当时，，

综合考虑可得在上单调递减，在上单调递增，

且，，，

要使函数有两个零点，可以得到的取值范围是.