Question

已知命题甲:对任意实数，不等式恒成立；命题乙:已知满足，且恒成立.

（1）分别求出甲､乙为真命题时，实数的取值范围；

（2）求实数的取值范围，使命题甲､乙中有且只有一个真命题.

Answer

（1）甲为真命题时，；乙为真命题时，（2）或

【解析】

（1）甲为真命题时，先转化为一元二次不等式恒成立问题，根据二次函数图象解得实数的取值范围，乙为真命题时，利用基本不等式求得最小值，再根据恒成立得实数的取值范围；

（2）分类求交集：甲真乙假与乙真甲假，最后求并集得结果.

（1）

当时，成立；

当时，要使恒成立，需

综上，甲为真命题时，；

（当且仅当时取等号）

恒成立，

综上， 乙为真命题时，

（2）命题甲､乙中有且只有一个真命题，即甲真乙假与乙真甲假，

所以或

即或