Question

已知定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足.

(1)求函数f(x)和g(x)的表达式；

(2)当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围；

(3)若方程在上恰有一个实根，求实数m的取值范围.

Answer

（1）（2）（3）

【解析】

（1）根据函数的奇偶性列出，解方程组即可求解.

（2）由（1）令利用换元法将不等式转化为，再采用分离参数法转化为，求出的最小值即可求解.

（3）根据题意令，将方程转化为在(1,2)上恰有一个实根，根据一元二次方程根的分布即可求解.

【解析】
（1），①.

即，②

联立①②解得.

（2）对恒成立，

即对恒成立，

令为减函数，，

，即恒成立.

而在上单调递减，，

a的取值范围为

（3）在恰有一个实根，

即在上恰有一个实根，

令，在(1,2)上恰有一个实根，

当时，得，由可知无解；

当时，又则有或

解得，综上m的取值范围为