Question

已知两点，，若直线上存在四个点，使得是直角三角形，则实数的取值范围是（      ）

A. B.

C. D.

Answer

D

【解析】

根据△MNP是直角三角形，转化为以MN为直径的圆和直线y=k（x-3）相交，且k≠0，然后利用直线和圆相交的等价条件进行求解即可．

当P1M⊥x，P4M⊥x时，此时存在两个直角三角形，

当MN为直角三角形的斜边时，△MNP是直角三角形，

要使直线y=k（x-3）上存在四个点P（i=1，2，3，4），

使得△MNP是直角三角形，等价为以MN为直径的圆和直线y=k（x-3）相交，且k≠0，

圆心O到直线kx-y-3k=0的距离，

平方得9k2<4（1+k2）=4+4k2，

即5k2<4，即k2<，得，

又k≠0，∴实数k的取值范围是，

故选：D．