Question

定义域为的函数满足，当时，.若时，恒成立，则实数的取值范围是（     ）

A. B. C. D.

Answer

C

【解析】

由f（x+2）=2f（x）-1，求出x∈（2，3），以及x∈[3，4]的函数的解析式，分别求出（0，4]内的四段的最小值和最大值，注意运用二次函数的最值和函数的单调性，再由恒成立即为，，解不等式即可得到所求范围

当x∈(2,3),则x−2∈(0,1)，

则f(x)=2f(x−2)−1=2(x−2)2−2(x−2)−1，

即为f(x)=2x2−10x+11，

当x∈[3，4]，则x−2∈[1，2]，

则f(x)=2f(x−2)−1=.

当x∈(0,1)时,当x=时,f(x)取得最小值,且为−；

当x∈[1,2]时,当x=2时,f(x)取得最小值,且为；

当x∈(2,3)时,当x=时,f(x)取得最小值,且为−；

当x∈[3,4]时,当x=4时,f(x)取得最小值，且为0.

综上可得,f(x)在(0,4]的最小值为−.

若x∈(0,4]时, 恒成立，

则有.

解得.

当x∈(0,2)时,f(x)的最大值为1,

当x∈(2,3)时,f(x)∈[−,−1)，

当x∈[3,4]时,f(x)∈[0,1]，

即有在(0,4]上f(x)的最大值为1.

由，即为，解得，

综上，即有实数t的取值范围是.

故选：C.