Question

函数是R上的奇函数，m、n是常数.

（1）求m，n的值；

（2）判断的单调性并证明；

（3）不等式对任意恒成立，求实数k的取值范围.

Answer

（1）；（2）在R上递增，证明见解析；（3）

【解析】

（1）依题意时上的奇函数，则采用特殊值法，即可求出参数的值；

（2）利用定义法证明函数的单调性，按照：设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可；

（3）根据函数的奇偶性和单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，即对任意恒成立，令，即，对恒成立，令，根据二次函数的性质分析可得；

【解析】
（1）∵是上的奇函数，

∴∴

∴.

（2）在上递增

证明：设，且，则

，

∵∴又，，∴，即，∴是上的增函数.

（3）由题意得：对任意恒成立又是R上的增函数，

∴即对任意恒成立，

令，即，对恒成立，令，对称轴为，当即时，在为增函数，

∴成立，∴符合，

当即时，在为减，为增，

∴

解得，∴.

综上.