Question

已知函数为奇函数，，其中.

（1）若函数的图像过点，求实数和的值；

（2）若，试判断函数在上的单调性并证明；

（3）设函数，若对每一个不小于3的实数，都恰有一个小于3的实数，使得成立，求实数的取值范围.

Answer

(1) ; (2)在上单调递增;

(3)

【解析】

(1)由奇函数可得,再代入即可.

(2)设再计算的正负即可判断单调性.

(3)由题意可分,与三种情况进行讨论再根据与的值域关系进行不等式求解.

(1)因为为奇函数,故,又函数的图像过点故.即.

(2)由题,,

当时, ,设,

则

因为,故,,,

故.所以

故在上单调递增.

(3)当时,

当时,

1.当时,, ,又,

不满足条件,

2.当时, ,,

又,,

由题意恒成立,故满足条件.

3.当时, ,,

,,

由题意有,此时，即

令函数,易得为减函数且.

则解可得.此时

综上