Question

如图所示，已知是圆内的一点，，是圆上两动点，且满足，则矩形的顶点的轨迹方程为__________

Answer

【解析】

设的中点为，设的坐标为，则在中，，在中，，再由，由此得到点的轨迹方程①，设，因为是的中点，可得，代入①化简即得所求.

【解析】
设的中点为，则也是的中点，

设的坐标为，则在中，.
又因为是弦的中点，

依垂径定理：在中，.
又，

所以有，即.
因此点在一个圆上，而当在此圆上运动时，点即在所求的轨迹上运动.
设，因为是的中点，所以，
代入方程，

得，
整理得：，这就是所求的点的轨迹方程.

故答案为：.