Question

如图，点是双曲线上的动点，是双曲线的焦点，M是的平分线上一点，且，某同学用以下方法研究：延长交于点N，可知为等腰三角形，且M为的中点，得，类似地：点是椭圆上的动点，椭圆的焦点，M是的平分线上一点，且则的取值范围是______

 

Answer

【解析】

利用M是∠F1PF2平分线上的一点，且F2M⊥MP，判断OM是三角形F1F2N的中位线，把OM用PF1，PF2表示，再利用椭圆的焦半径公式，转化为用椭圆上点的横坐标表示，借助椭圆的范围即可求出OM的范围．

如图，延长F2M，交PF1与N点，

∵PM是∠F1PF2平分线，且•0，

且F2M⊥MP，

∴|PN|＝|PF2|，M为F2N的中点，

连接OM，

∵O为F1F2中点，M为F2N中点，

∴|OM||F1N|||PF1|﹣|PN||||PF1|﹣|PF2||

∵在椭圆1（a＞b＞0）中，

设P点坐标为（x0，y0）

则|PF1|＝a+ex0，|PF2|＝a﹣ex0，

∴||PF1|﹣|PF2||＝|a+ex0﹣a+ex0|＝|2ex0|＝2e|x0||x0|，

即有|OM||x0|，

∵P点在椭圆1（a＞b＞0）上，

∴|x0|∈（0，a]，

又∵当|x0|＝a时，F2M⊥MP不成立，∴|x0|∈（0，a），

∴|OM|∈（0，c）=．

故答案为：．