Question

直线l过点M(2，1)，且分别交x轴、y轴的正半轴于点A、B.点O是坐标原点．

(1)当△ABO的面积最小时，求直线l的方程；

(2)当最小时，求直线l的方程．

Answer

（1）x＋2y－4＝0（2）x＋y－3＝0

【解析】

(1)如图，设＝a，＝b，△ABO的面积为S，则S＝ab，并且直线l的截距式方程是＝1，

由直线通过点(2，1)，得＝1，所以.

因为A点和B点在x轴、y轴的正半轴上，所以上式右端的分母b－1>0.由此得

S＝×b＝×b＝＝b＋1＋＝b－1＋＋2≥2＋2＝4.

当且仅当b－1＝，即b＝2时，面积S取最小值4，这时a＝4，直线的方程为＝1.

即直线l的方程为x＋2y－4＝0.

(2)如上图，设∠BAO＝θ，则＝，＝，

所以＝·＝，

当θ＝45°时，有最小值4，此时直线斜率为－1，∴直线l的方程为x＋y－3＝0