Question

设A，B分别为双曲线 (a>0，b>0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为.

(1)求双曲线的方程；

(2)已知直线y＝x－2与双曲线的右支交于M，N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使，求t的值及点D的坐标．

Answer

（1）；（2）t＝4，点D的坐标为(4，3).

【解析】

（1）由双曲线的实轴长得a的值，再由焦点到渐近线的距离可得＝，解方程可得双曲线的方程；

（2）设点M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，由向量坐标化可得：x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0，再由直线与双曲线联立得x2－16x＋84＝0，结合坐标关系利用韦达定理即可求解.

(1)由题意知a＝2.

∴一条渐近线为y＝x，即bx－2y＝0.

∴＝.

又c2＝a2＋b2＝12＋b2，∴解得b2＝3.

∴双曲线的方程为.

(2)设点M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，则x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0.

将直线方程代入双曲线方程得x2－16x＋84＝0.

则x1＋x2＝16，y1＋y2＝12.

∴∴

由，得(16，12)＝(4t,3t)．

∴t＝4，点D的坐标为(4，3)．