Question

已知的图象关于原点对称，其中a为常数.

（1）求a的值，并写出函数f（x）的单调区间（不需要求解过程）；

（2）若关于x的方程在[2，3]上有解，求k的取值范围.

Answer

（1），f（x）在（﹣∞，﹣1）和（1，+∞）上是单调增函数；（2）[﹣1，1].

【解析】

（1）根据的图象关于原点对称，得到f（x）是奇函数，

则f（x）+f（﹣x）=0，恒成立，即恒成立，化简为x2（a2﹣1）=0求解.根据a的值，f（x）=log（1），再利用复合函数的单调性确定单调区间.

（2）关于x的方程在[2，3]上有解，即（x+k）在[2，3]上有解，转化为kx，在[2，3]上有解，再求得g（x）x，x∈[2，3]值域即可.

（1）因为的图象关于原点对称，

所以f（x）为奇函数，

所以f（x）+f（﹣x）=0，

即，

所以1﹣a2x2=1-x2，

即x2（a2﹣1）=0，

所以a=﹣1或a=1（舍去），

所以f（x）=log（1），定义域为（﹣∞，﹣1）（1，+∞）.

所以f（x）的增区间是（﹣∞，﹣1）和（1，+∞），无减区间.

（2）关于x的方程在[2，3]上有解，

即（x+k）在[2，3]上有解，

即x+k，得kx，

令g（x）x，x∈[2，3]，

则g（x）=1x在x∈[2，3]上单调递减，且f（2）=1，f（3）=﹣1，

所以k的取值范围是[﹣1，1].