Question

如图，有一块矩形草坪ABCD，AB=100m，BC=50m，欲在这块草屏内铺设三条小路OE、EF和OF，要求O是AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且∠EOF=90°.

（1）设∠BOE=α，试求△OEF的周长l关于α的函数解析式，并求出此函数的定义域；

（2）经核算，三条路的铺设费用均为400元/m，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用.

Answer

（1）l，[，]；（2）当BE=AE=50米时，铺路总费用最低，最低总费用为40000（1）元.

【解析】

（1）在Rt△BOE中，求得，在Rt△AOF中，求得，再根据∠EOF=90°，利用勾股定理求得，然后求得周长.结合图形，当点F在点D时，角α最小，点E在点C时，角α最大，求得定义域.

（2）根据题意，铺路总费用最低，则△OEF的周长l的最小，即求l，α∈[，]，的最小值.

（1）在Rt△BOE中，OB=50，∠B=90°，∠BOE=α∴，

在Rt△AOF中，OA=50，∠A=90°，∠AFO=α，∴，

又∠EOF=90°，∴，

∴l=OE+OF+EF，

即l，

当点F在点D时，角α最小，此时求得；当点E在点C时，角α最大，此时求得，

故此函数的定义域为[，]；

（2）由题意可知，要求铺路总费用最低，只要求△OEF的周长l的最小值即可，

由（1）得，l，α∈[，]，

设si nα+cosα=t，则，

所以，

因为α∈[，]，所以，

所以，

所以，

从而，

当，即BE＝50时，，

∴当BE=AE=50米时，铺路总费用最低，最低总费用为40000（1）元.