Question

已知a∈R，函数f（x）=x²﹣2ax+5.

（1）若a>1，且函数f（x）的定义域和值域均为[1，a]，求实数a的值；

（2）若不等式x|f（x）﹣x²|1对x∈[，]恒成立，求实数a的取值范围.

Answer

（1）2；（2）.

【解析】

（1）根据f（x）的图象开口向上，对称轴为x=a>1，知f（x）在[1，a]上单调递减，所以f（1）=a求解即可.

（2）将不等式x|f（x）﹣x2|1对x∈[，]恒成立，去绝对值转化为a且a在x∈[，]恒成立，分别令g（x），x∈[，]，用二次函数求其最大值，令h（x），x∈[，]，求其最小值即可.

（1）∵f（x）的图象开口向上，对称轴为x=a>1，

∴f（x）在[1，a]上单调递减，

∴f（1）=a，即6﹣2a＝a，解得a=2..

（2）不等式x|f（x）﹣x2|1对x∈[，]恒成立，

即x|2ax﹣5|1对x∈[，]恒成立，

故a且a在x∈[，]恒成立，

令g（x），x∈[，]，

所以g（x）max=g（），

所以.

令h（x），x∈[，]，

所以h（x）min=h（）=7，

所以.

综上：.