Question

如图，椭圆：的离心率为，设，分别为椭圆的右顶点，下顶点，的面积为1.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知不经过点的直线：交椭圆于，两点，且,求证：直线过定点.

Answer

(1) (2)证明见解析

【解析】

（1）根据题意建立的方程组求解；

（2）直线方程和椭圆方程联立，得到根与系数的关系，，，

由已知可知，转化为坐标关系，代入根与系数的关系得到或，再验证是否成立，证明直线过定点.

【解析】
（1）由已知，，，可得，

又因，即，

所以，即，，

所以椭圆的方程为.

（2）联立，得， ，设，，则

，， ①

因为 , ，即

即，

又，，，

即， ②

把①代入②得：

得或，

所以直线的方程为或，

所以直线过定点或（舍去），

综上所述直线过定点.