Question

若实数满足，称为函数的不动点.有下面三个命题：（1）若是二次函数，且没有不动点，则函数也没有不动点；（2）若是二次函数，则函数可能有个不动点；（3）若的不动点的个数是，则的不动点的个数不可能是；它们中所有真命题的序号是________________________.

Answer

（1）（2）（3）

【解析】

（1）题意说明方程无实数根，即函数的图象与直线无交点，由此可得恒成立，或恒成立，由此可得结论．

（2）由是二次函数，则是四次函数，结合四次函数图象可判断．

（3）若有两个不动点，设为，则，（），用反证法证明不可能有3个不动点．

（1）设，由题意无实根，即函数的图象与直线无交点，

时，的图象在轴上方，

则对任意，恒成立，恒成立，

∴恒成立，

当时，的图象在轴下方，

则对任意，恒成立，恒成立，

∴恒成立．

综上不论还是，方程无实根，即无不动点，（1）正确；

（2）是二次函数，则是一元四次函数，是一元四次方程，可能是4个不同的实解，即有4个不动点．

如，有两个不动点和3，

而，

有4个不等实根．（2）正确；

（3）若有两个不动点，设为，则，（），

，

显然是方程的解，

若有3个不动点，则方程有两个相等的实根，且不是它的根．即，，即（*）

，，

，或，与（*）式矛盾，

∴不可能有3个不动点．（3）正确．

故答案为：（1）（2）（3）．