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如图,在四棱锥中,底面,是边长为的正方形.且,点是的中点. (1)求证:; (2...

如图,在四棱锥中,底面是边长为的正方形.且,点的中点.

1)求证:

2)求平面与平面所成锐二面角的大小.

 

(1)见解析;(2). 【解析】 (1)证明出平面,由直线与平面垂直的定义可得出; (2)解法一:以、、为、、轴建立空间直角坐标系,由题意得出平面与平面的一个法向量分别为、,然后利用空间向量法计算出平面与平面所成的锐二面角; 解法二:过引直线,使得,可知为平面与平面所成二面角的棱,并证明出,,由二面角的定义得出为平面与平面所成的锐二面角,然后在计算出该角即可. (1)由题意,底面是正方形,. 底面,平面,. ,平面. 平面,. 又,点是的中点,, ,平面. 平面,; (2)法—:由题知、、两两垂直,以、、为、、轴建立空间直角坐标系. 则,,则,, 平面,则是平面的一个法向量,, 由(1)知平面,是平面的一个法向量,且, ∴, 因此,平面与平面所成锐二面角的大小等于; 法二:过引直线,使得,则, 平面,平面,就是平面与平面所成二面角的棱. 由条件知,,,已知,则平面. 由作法知,则平面,所以,, 就是平面与平面所成锐二面角的平面角. 在中,,平面与平面所成锐二面角的大小等于.
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