Question

如图，在四棱锥中，底面，是边长为的正方形．且，点是的中点．

（1）求证：；

（2）求平面与平面所成锐二面角的大小．

Answer

（1）见解析；（2）.

【解析】

（1）证明出平面，由直线与平面垂直的定义可得出；

（2）解法一：以、、为、、轴建立空间直角坐标系，由题意得出平面与平面的一个法向量分别为、，然后利用空间向量法计算出平面与平面所成的锐二面角；

解法二：过引直线，使得，可知为平面与平面所成二面角的棱，并证明出，，由二面角的定义得出为平面与平面所成的锐二面角，然后在计算出该角即可.

（1）由题意，底面是正方形，.

底面，平面，.

，平面.

平面，.

又，点是的中点，，

，平面.

平面，；

（2）法—：由题知、、两两垂直，以、、为、、轴建立空间直角坐标系．

则，，则，，

平面，则是平面的一个法向量，，

由（1）知平面，是平面的一个法向量，且，

∴，

因此，平面与平面所成锐二面角的大小等于；

法二：过引直线，使得，则，

平面，平面，就是平面与平面所成二面角的棱．

由条件知，，，已知，则平面．

由作法知，则平面，所以，，

就是平面与平面所成锐二面角的平面角．

在中，，平面与平面所成锐二面角的大小等于．