Question

已知，设命题：，方程存在实数解；命题：不等式对任意恒成立.

（1）若为真命题，则的取值范围；

（2）若为假命题，为真命题，求取值范围.

Answer

（1）（2）或

【解析】

（1）在命题中，由的范围求解出的范围，根据命题是真命题，求解关于的一元二次不等式即可；

（2）利用恒成立分离参数得到，构造函数，，利用单调性求得的最小值，从而得到的范围，再由为假命题，为真命题，得、中必有一真一假，分情况讨论，得到最后的答案.

（1）因为，所以，则，

由已知条件可得，解得，

故为真命题时，.

（2）因为不等式对任意，

则，令，，

则，，

令，可知在上为增函数，

.

因为为假命题，为真命题，

则、中必有一真一假，

若为真命题，为假命题时，则；

若为假命题，为真命题时，则，

综上所述或.