Question

已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）若函数在取得极小值，若，求实数的取值范围.

Answer

（1）答案不唯一，具体见解析（2）

【解析】

（1）对求导，求出的零点，对进行分类讨论，讨论每种情况下的单调性即可；

（2）讨论三种情况下的极小值，时，无极小值；时，的极小值，所以成立；时，的极小值，构造函数，判断的单调性求出的范围即可.

（1）由题意，.

令解得，，

①当时，时，，则在为增函数；

时，，则在为减函数；

时，，则在为增函数；

②当，时，，则在为增函数；

③当时，时，，则在为增函数；

时，，则在为减函数；

时，，则在为增函数；

综上所述：当时，在为减函数，在和为增函数；

当时，在为增函数；

当时，在为减函数，在和为增函数；

（2）由（1）可当函数不存在极值点，

当时，可知函数，

所以成立；

当时，可知函数，

令，

则，，

当时，，即在为减函数，

所以，所以在上为减函数，

又因为，所以，

由在上为减函数，得.

综上所述，当，.