Question

设函数.

（1）求函数的极值点；

（2）设函数有两个零点，求整数的最小值.

Answer

（1）的极大值点为0（2）2

【解析】

（1）对求导，，因为恒大于，所以的正负等价于的正负，构造新的函数，求导判断的正负，从而求出的极值点；

（2）将的零点问题转化为函数与函数图像的交点问题，判断的极大值的范围，构造关于的极大值的函数，利用导数求得其范围，从而得到的范围，求出整数的最小值.

因为，

令，，

因为当，，所以在上为减函数，

因为，又因为在上为减函数.

当，，即，所以在为增函数，

当，，即，所以在为减函数，

所以的极大值点为0.

（2），

由题意函数有两个零点，

可转化为函数与函数的图像有两个交点，

令，则，

令，则，

即在上为减函数，

因为，，

，使得，即，

当，，即，所以在为增函数，

当，，即，所以在为减函数，

，

由得，所以，

代入得，

事实上，，即，

令，，，

带入化简得

，

又因为在区间为减函数，

所以，即，

所以，即，

所以整数的最小值为2.