Question

对于函数,若存在区间,使得,则称函数为“可等域函数”,区间A为函数的一个“可等域区间”.给出下列四个函数:①;②;③;④.其中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”的个数是(    )

A. B. C. D.

Answer

B

【解析】

根据存在区间,使得,则称函数为“可等域函数”,区间为函数的一个“可等域区间”,对四个函数逐一判断,即可得到答案.

在①中,如在区间、都是的可等域区间,故①不合题意;

在②中,,且在时递减,在时递增,

若,则,于是,又,,而,故,

是一个可等域区间;

若,则,解得,,不合题意,

若,则有两个非负解,但此方程的两解为1和,也不合题意,

故函数只有一个等可域区间,故②成立;

在③中,函数的值域是,所以,

函数在上是增函数,考察方程,

由于函数与只有两个交点,,

即方程只有两个解和,

因此此函数只有一个等可域区间,故③成立;

在④中,函数在定义域上是增函数,

若函数有等可域区间,则,,

但方程无解(方程无解),故此函数无可等域区间,故④不成立.

综上只有②③正确.

故选:B.