Question

已知椭圆的左、右焦点分别为、，焦点为的抛物线的准线被椭圆截得的弦长为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若点、到直线的距离之积为，求证：直线与椭圆相切．

Answer

（1）；（2）证明见解析.

【解析】

（1）根据抛物线的焦点坐标，求得，根据题意可得知点在椭圆上，利用椭圆的定义可求出的值，进而得出的值，即可求得椭圆的标准方程；

（2）根据（1）中的椭圆方程，求得两个焦点，利用点到直线的距离公式求得和的关系，再将直线方程代入椭圆方程，计算出，即可证明直线与椭圆相切．

（1）设椭圆的焦距为，

抛物线的焦点为，则，抛物线的准线方程为，

由于抛物线的准线被椭圆截得的弦长为，则点在椭圆上，

由椭圆的定义得，，则，

因此，椭圆的标准方程为；

（2）点到直线的距离，点到直线的距离为，

则.

①若，则，显然不成立；

②若，则.

将直线的方程与椭圆的方程联立，

消去得，

则，

因此，直线与椭圆相切.