Question

已知函数．（其中e为自然对数的底数）

（1）若，求的单调区间；

（2）若，求证：．

Answer

（1）递减区间为（0，1），递增区间为；（2）见解析

【解析】

(1)对进行求导,再分析导函数的正负进行原函数的单调性分析.
(2)代入得,再求导分析单调性.注意零点求不出来,故设零点为分析其大致范围,再根据单调性求的最小值表达式,分析其取值范围即可.

（1）若,则,所以,

在上是增函数,且,

所以时,是减函数；时,,是增函数,

所以的递减区间为（0,1）,递增区间为．

（2）若,则,,在上是增函数,且,

,由,可得,

所以存在,使得,即,

时,,是减函数；时,,是增函数,

所以,

设,则在上是减函数,

所以,所以．