Question

在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数且）．在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为．

（1）求直线的极坐标方程及曲线的直角坐标方程；

（2）若点在直线上，点在曲线上，求证：．

Answer

（1），；（2）证明见解析.

【解析】

（1）先将直线的参数方程化为普通方程，再将直线的普通方程转化为极坐标方程，利用可将曲线的极坐标方程转化为直角坐标方程；

（2）设点的坐标为，利用点到直线的距离公式以及三角函数的有界性可证明出.

（1）在直线的参数方程（为参数且）中消去参数得，所以，直线的极坐标方程为.

曲线的极坐标方程为，即，即，

转化为直角坐标方程为，即；

（2）曲线的参数方程为（为参数），

设点的坐标为，则点到直线的距离为，

因此，.