Question

已知函数；.

（1）判断在上的单调性，并说明理由；

（2）求的极值；

（3）当时，，求实数的取值范围.

Answer

（1）见解析（2）极小值.（3）

【解析】

（1）求导数，根据导函数符号确定单调性，（2）利用导数研究导函数单调性，根据单调性确定导函数符号变化规律，即得函数极值，（3）先根据特殊值得，再由（1）得，结合得,因此，最后利用（2）证明满足条件.

【解析】
（1）∵，

则.

当时，，，得，

∴在上单调递减.

（2）∵，

则，

令，则.

∴即在上单调递增.

又，

∴当时，，当时，.

∴在上单调递增，在上单调递减，

∴有极小值.

（3）令，

即对成立.

①时，与矛盾，不成立.

②时，当时，

令，则，

∴在上单调递增，

又，∴，即.

由（2）知.

当时，，而，等号不同时成立，

∴.

③时，若，则，

即，

由（1）知，

即.

∴，

∴不成立.

综上，的取值范围为.