Question

已知三棱锥的两条棱长为1，其余四条棱长为2，有下列命题：

该三棱锥的体积是；

该三棱锥内切球的半径是；

该三棱锥外接球的表面积是．

其中正确的是　　

A. B. C. D.

Answer

B

【解析】

三棱锥中,，，取BC，PA的中点D，E，①利用过BC中点D与BC垂直的截面三角形PAD为底，以BC高求得体积，验证正确；

②利用四面全等，由内切球球心为顶点把三棱锥等分四份，不难求得半径r，验证正确；

③首先确定DE中点为外接球球心，不难求解，验证错误.

如图所示，三棱锥中

，，

取BC，PA的中点D，E，作如图的连接

则，，

平面PAD

并求得：；

，

三棱锥的体积为，正确；

设内切球的半径为r，球心为M，

显然四个面三角形全等，

解得，正确；

事实上，外接球球心O必在过D点与BC垂直的平面PAD内，

和过E点与PA垂直的平面BCE内，

故O点在平面PAD和平面BCE的交线DE上，

在内，

同样，在内，

≌

，即O为DE的中点，

可求得外接球半径R的平方：故错误

故选B．