Question

已知函数．

（1）若曲线在处切线与坐标轴围成的三角形面积为，求实数的值；

（2）若，求证：．

Answer

（1）或；（2）见解析

【解析】

（1）利用导函数求出曲线在处切线，表示出切线与坐标轴围成三角形面积即可求解；

（2）需证明的不等式通过作差转化成证明，利用导函数单调性求出最小值即可得证.

（1），则为切线斜率．

又，∴切点为．∴曲线在处切成方程为．

当时，，当时，（易知）

则切线与坐标轴围成三角形面积为．

∴得．

所以或．

（2）法一：时，

要证的不等式为，即．

令，则．

易知递增，，，∴仅有一解且，即．

当时，，递减；当时，，递增．

从而最小值为∴，故原不等式成立．

法二：时，要证的不等式为．令，则．

故问题化为证不等式恒成立．时，

令，则，当时，，递减；

当时，，递增．∴，从而原不等式成立．