Question

已知椭圆，右焦点的坐标为，且点在椭圆上.

（1）求椭圆的方程及离心率；

（2）过点的直线交椭圆于两点（直线不与轴垂直），已知点与点关于轴对称，证明：直线恒过定点，并求出此定点坐标．

Answer

（1），（2）答案见解析.

【解析】

（1）由题意得到关于a,b,c的方程组，求解方程组确定a,b,c的值即可确定椭圆方程和椭圆的离心率；

(2)设，，，联立直线方程与椭圆方程，由题意可得，结合韦达定理和直线斜率的定义得到m与k的关系，代入直线PB的方程即可证得直线过定点.

（1）由已知得，解得，

∴椭圆的标准方程，

∴椭圆的离心率.

(2)设，，则，

可设的直线方程为，

联立方程，整理得，

∴，

，∴，

整理得，，

∴，解得，

∴的直线方程为：，

直线恒过定点.