Question

已知函数．

（1）若是的极值点， 求函数的单调性；

（2）若时，，求的取值范围．

Answer

（1）在上单调递减，在上单调递增；（2）.

【解析】

（1）求出原函数的导函数，结合 f′（1）＝0求得a＝1，代入导函数，得到f′（x），再由y＝x2+ln x﹣1 在（0，+∞）上单调递增，且x＝1时y＝0，可得当0＜x＜1 时，f′（x）＜0，f （x）单调递减；当x＞1 时，f′（x）＞0，f （x）单调递增；

（2）由 f （x）≤0，得axa≤0，可得a，令g（x），利用二次求导可得其最小值，则a的范围可求．

（1）

因为是的极值点，

所以，可得．

所以，.

因为在上单调递增，且时，，

所以时，，，单调递减；

时， ，，单调递增．

故在上单调递减，在上单调递增．

（2）由得，

因为，所以.

设，

则.

令，

则，

显然在内单调递减，且，

所以时，，单调递减，

则，即，

所以在内单减，从而.

所以.