Question

在平面直角坐标中，直线的参数方程为（为参数，为常数）．以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（Ⅰ）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（Ⅱ）设直线与曲线相交于两点，若，求的值．

Answer

（Ⅰ），（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）直线的参数方程为（为参数，为常数），消去参数得的普通方程，而曲线的极坐标方程可化为，利用可得的直角方程．

（Ⅱ）利用直线参数方程中参数的几何意义可得．

（Ⅰ）∵直线的参数方程为（为参数，为常数），

消去参数得的普通方程为：即．

∵，∴即，即．

故曲线的直角坐标方程为．

（Ⅱ）法一：将直线的参数方程代入曲线中得，

∴．

法二：将代入曲线

化简得：,

∴．