Question

已知函数在区间上有最大值和最小值，设．

（1）求，的值；

（2）若不等式在上有解，求实数的取值范围；

（3）若有三个不同的实数解，求实数的取值范围．

Answer

（1），；（2）；（3）.

【解析】

（1）由函数，所以在区间上是增函数，故，，由此解得，的值；

（2）由（1）可知，所以令，不等式可化为，，求出的最大值，从而求得取值范围；

（3）令，则原方程有三个不同的实数解转化为有两个不同的实数解，，其中或，，然后运用“三个二次”即：二次函数、二次不等式、二次方程之间的关系列出式子求解得答案．

（1）函数

因为，所以在区间上是增函数，故 ，解得，；

（2）由已知可得，所以令，不等式可化为，因，故，故在上能成立，

记，因为 ，故，

所以的取值范围是；

（3）令 ()，图象如下：

则方程变为：，

化简得：，

设方程有两个不同的实数解，，

其中或，，记，

则有： ①或 ②，

解①得，；②无解，

实数的取值范围为.