Question

数列满足：

（1）求的值；

（2）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；

（3）设假设恒成立，求实数的取值范围.

Answer

(1)，，；(2)证明见详解，；(3).

【解析】

（1）根据递推公式，进行赋值即可求得；

（2）根据等差数列的定义，用其后一项减去前一项，证明其为常数即可；

（3）先根据利用裂项求和求得，再将恒成立问题转化为二次函数恒成立问题即可.

（1）因为

故可得

因为，根据，可解的；

由，可得

则，

综上：，，.

（2）证明：由（1）知：

故，

故数列是首项为-4，公差为-1的等差数列，即证.

故，解得.

（3）由（2）知，因为，

故可得

故

故，又

故恒成立，等价于恒成立，即恒成立，即恒成立.

令，.

当时，恒成立，满足题意；

当时，由二次函数的性质可知，显然不成立；

当时，对称轴

故在单调递减，要满足题意，只需即可，即，解得,

又因为，故.

综上当时，恒成立.