Question

已知的一个顶点为抛物线的顶点，，两点都在抛物线上，且.

（1）求证：直线必过一定点；

（2）求证：面积的最小值.

Answer

（1）详见解析（2）当时，的面积取得最小值为

【解析】

试题（1）由于，所以设所在的直线的方程为（），则直线的方程为.分别与抛物线方程组方程组解得A,B点坐标。由AB直线方程可写出定点，要注意直线AB斜率不存在时情况。（2）由（1）知直线AB过定点（2，0），所以可设直线的方程为.与抛物线组方程组。由韦达定理与面积公式，可求得面积最小值。

试题解析：（1）设所在的直线的方程为（），则直线的方程为.

由，解得或，即点的坐标为

同理可求得点的坐标为

∴当，即时，直线的方程为

化简并整理，得

当时，恒有

当，即时，直线的方程为，过点.

故直线过定点.

（2）由于直线过定点，记为点，所以可设直线的方程为.

由，消去并整理得，

∴，

于是

∴当时，的面积取得最小值为