Question

已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点也为抛物线：的焦点．

（1）若，为椭圆上两点，且线段的中点为，求直线的斜率；

（2）若过椭圆的右焦点作两条互相垂直的直线分别交椭圆于，和，，设线段，的长分别为，，证明是定值．

Answer

（1）（2）

解:因为抛物线的焦点为,所以,故.

所以椭圆.

(1)设,则

两式相减得，

又的中点为,所以.

所以.

显然,点在椭圆内部,所以直线的斜率为.

(2)椭圆右焦点.

当直线的斜率不存在或者为时, .

当直线的斜率存在且不为时,设直线的方程为，

设,联立方程得

消去并化简得，

因为，

所以，.

所以

同理可得.

所以为定值.

【解析】

（1）先利用抛物线的焦点是椭圆的焦点求出，进而确定椭圆的标准方程，再利用点差法求直线的斜率；（2）设出直线的方程，联立直线和椭圆的方程，得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系进行求解.

因为抛物线的焦点为，所以，故.

所以椭圆.

（1）设，，则

两式相减得，

又的中点为，所以，.

所以.

显然，点在椭圆内部，所以直线的斜率为.

（2）椭圆右焦点.

当直线的斜率不存在或者为时，.

当直线的斜率存在且不为时，设直线的方程为，

设，，联立方程得

消去并化简得，

因为，

所以，.

所以，

同理可得.

所以为定值.