Question

已知集合A={x|1-a≤x≤1+a}（a＞0），B={x|x²-5x+4≤0}．

（1）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数a的取值范围；

（2）对任意x∈B，不等式x²-mx+4≥0都成立，求实数m的取值范围．

Answer

（1）[3，+∞）；（2）（-∞，4].

【解析】

（1）根据“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，即可得出a满足的条件．

（2）要使任意x∈B，不等式x2-mx+4≥0都成立，又B={x|x2-5x+4≤0}={x|1≤x≤4}．由x2-mx+4≥0，得，只要，即可得出．

【解析】
（1）A={x|1-a≤x≤1+a}（a＞0），B={x|x2-5x+4≤0}={x|1≤x≤4}．

因为“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，即B⫋A，

所以，或，

所以，，或，

所以a≥3．

所以，实数a的取值范围是[3，+∞）．

（2）要使任意x∈B，不等式x2-mx+4≥0都成立，又B={x|x2-5x+4≤0}={x|1≤x≤4}．

由x2-mx+4≥0，得，

则只要，又，当且仅当，即x=2时等号成立．

实数m的取值范围（-∞，4]．