Question

已知圆，直线，为任意实数.

（1）求证：直线必与圆相交；

（2）为何值时，直线被圆截得的弦长最短？最短弦长是多少？

（3）若直线被圆截得的弦的中点为点，求点的轨迹方程.

Answer

（1）见解析（2），最短弦长为（3）

【解析】

（1）通过直线转化为直线系，求出直线恒过的定点，判断定点与圆的位置故选即可判断直线与圆C相交；（2）说明直线|被圆C截得的弦长最小时，圆心与定点连线与直线垂直，求出斜率即可求出的值，再由勾股定理即可得到最短弦长；（3）由得弦的中点的轨迹方程.

（1）由，

得，

，

，得，

直线恒过点，又圆，半径为，

，

在圆内，则直线必与圆相交.

（2）由（1）知在圆内，当直线被圆截得的弦长最短时，，

又，

则直线的斜率为，即有，解得.

此时最短弦长为.

故时，直线被圆截得的弦长最短，最短弦长是.

（3）设，又为的中点，

，，

可得.

，

即.