Question

在平面直角坐标系中，曲线过点，其参数方程为（为参数，）.以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为

（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（2）已知曲线与曲线交于，两点，且，求实数的值.

Answer

（1）..（2）2

【解析】

（1）曲线参数方程消去参数，得到曲线的普通方程，根据极坐标与直角坐标互化公式，代入即可得曲线的直角坐标方程；

（2）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程得到关于的一元二次方程，根据参数方程中参数的几何意义及韦达定理即可求得实数的值.

（1）曲线的参数方程为(为参数，），

曲线的普通方程为.

曲线的极坐标方程为，

，

，

即曲线的直角坐标方程为.

（2）将直线的参数方程（为参数）代入曲线的直角坐标方程得：.

，即，

设，两点所对应的参数分别为，则，

根据参数方程中参数的几何意义可知：

，

解得.