Question

已知椭圆（）的焦距为，且过点．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若点，设为椭圆上位于第三象限内一动点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：四边形的面积为定值，并求出该定值．

Answer

（Ⅰ）；

（Ⅱ）四边形的面积为定值2；证明见解析.

【解析】

（Ⅰ）先由题意得到，，从而可求出，进而可得椭圆方程；

（Ⅱ）先设（，），根据椭圆方程得到，再由题意得到直线的方程为，表示出，再由直线的方程为，表示出，根据四边形的面积，化简整理，即可得出结论成立．

（Ⅰ）由题意，，且，求得，所以．

所以椭圆的方程为；

（Ⅱ）设（，），则．

又，，所以直线的方程为．

令，得，从而．

直线的方程为．

令，得，从而．

所以四边形的面积

所以四边形的面积为定值2．