Question

设是等差数列，公差为，前项和为.

（1）设，，求的最大值.

（2）设，，数列的前项和为，且对任意的，都有，求的取值范围.

Answer

（1）2020（2）

【解析】

（1）运用等差数列的通项公式可得公差d，再由等差数列的求和公式，结合配方法和二次函数的最值求法，可得最大值；

（2）由题意可得数列{bn}为首项为2，公比为2d的等比数列，讨论d＝0，d＞0，d＜0，判断数列{bn}的单调性和求和公式，及范围，结合不等式恒成立问题解法，解不等式可得所求范围．

（1）a1＝40，a6＝38，可得d，

可得Sn＝40nn（n﹣1）（n）2，

由n为正整数，可得n＝100或101时，Sn取得最大值2020；

（2）设，数列{bn}的前n项和为Tn，

可得an＝1+（n﹣1）d，数列{bn}为首项为2，公比为2d的等比数列，

若d＝0，可得bn＝2；d＞0，可得{bn}为递增数列，无最大值；

当d＜0时，Tn，

对任意的n∈N*，都有Tn≤20，可得20，且d＜0，

解得d≤．