Question

现定义：设是非零实常数，若对于任意的，都有，则称函数为“关于的偶型函数”

（1）请以三角函数为例，写出一个“关于2的偶型函数”的解析式，并给予证明

（2）设定义域为的“关于的偶型函数”在区间上单调递增，求证在区间上单调递减

（3）设定义域为的“关于的偶型函数”是奇函数，若，请猜测的值，并用数学归纳法证明你的结论

Answer

（1），答案不唯一（2）证明见解析（3），证明见解析

【解析】

（1）令，由于，则可证明；

（2）根据题意可知，再根据函数的单调性即可证明；

（3）由题得，可得结合数学归纳法得到，即可得证．

（1），

∴为“关于2的偶型函数”.

（2）.

任取则，因为函数在单调递增，所以.所以函数在上单调递减

（3）猜测数学归纳法证明：

1.当时因为是奇函数，所以得证

2.假设当，成立，

因为，

又∵奇函数，∴，

∴当时，，所以得证.